TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP QUA CÁC BÀI TOÁN
Đổi mới phương pháp dạy học là một nhu cầu tất yếu đối với nền giáo dục hiện nay. Tuy nhiên phải làm gì, và làm như thế nào thì đây là một vấn đề vô cùng phức tạp đặc biệt đối với 1 trường vùng cao như trường THPT Phù Lưu. Qua thực tiễn giảng dạy chúng tôi thấy đa số các em học sinh có thói quen học tập thụ động, lười tư duy đặc biệt là các môn tự nhiên. Một số em có ý thức học tập nhưng lại không biết phải học như thế nào cho hiệu quả. Chính vì vậy việc hướng dẫn các em cách học và tạo hứng thú học tập là việc làm cần thiết. Trong bộ môn toán giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài toán vui, câu đố, nghịch lý toán học, ảo thuật toán học…sẽ giúp các em có thêm hứng thú, niềm vui trong học tập. Chúng tôi xin trình bày 1 nghịch lí toán học có thể đem lại hứng thú học tập cho học sinh:
Tam giác nào cũng cân
Cho tam giác CAB bất kỳ đáy AB. Ta hãy kẻ đường phân giác góc
và đường trung trực của cạnh đáy AB (vuông góc tại trung điểm M của AB). Khi đó sẽ có các trường hợp sau đây xảy ra:
Trường hợp 1: Đường phân giác và đường trung trực đó trùng nhau. Như vậy tam giác có đường phân giác của góc đỉnh đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy nên tam giác đó cân.
Trường hợp 2: Đường phân giác và đường trung trực nói trên song song nhau. Vậy đường phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác đó cân.
Trường hợp 3: Hai đường nói trên cắt nhau tại N nằm phía trong tam giác (hình)








N



Nối N với A, B và hạ đường vuông góc NP và NQ xuống hai cạnh bên.
Xét hai tam giác CQN và CPN ta thấy: hai tam giác này đều vuông, có cạnh huyền CN chung và 2 góc nhọn QCN = PCN (do CN là phân giác) vậy

suy ra: NP = NQ
Ta cũng chứng minh được
vì 2 tam giác này đều vuông; có NP = NQ và NA = NB (vì NM là trung trực của AB) vậy hai tam giác vuông bằng nhau, ta suy ra:
(1)

NAB cân (vì có NM là trung trực của AB) nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
tức là
CAB cân.
Trường hợp 4: Giao điểm N của hai đường kể trên nằm trên đáy AB. Khi đó tam giác CAB có đường phân giác đồng thời cũng là trung tuyến. Vậy
CAB cân.
Trường hợp 5a: Đường phân giác và đường trung trực ở trên cắt nhau tại N ngoài tam giác nhưng chân hai đường vuông góc. NQ và NP vẫn nằm trong cạnh CA và CB (hình)


Ta có
CQN =
CPN (hai tam giác vuông có chung cạnh huyền và hai góc nhọn bằng nhau)
Từ đó suy ra NP = NQ
Tam giác NAB cân (vì MN là đường trung trực) nên NB = NA và
(1)

Ta có
NPB =
NQA (hai tam giác vuông có hai cạnh huyền bằng nhau: NA = NB và hai cạnh góc vuông bằng nhau: NP = NQ).
Từ đó ta suy ra:
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:

Tức là tam giác CAB cân.
Trường hợp 5b: Giao tuyến N nằm ngoài tam giác CAB và chân đường vuông góc P, Q nằm ngoài cạnh CA và CB (hình)

Tam giác NAB cân (vì MN là trung trực) vậy:
NA = NB và
(1)


CNQ =
CNP (vì có cạnh huyền chung và hai góc nhọn ở C bằng nhau)
Từ đó suy ra NP = NQ
Ta có
NPB =
NQA (hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau). Từ đó suy ra:
(2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra
tức tam giác CAB cân.
Như vậy ta có thể kết luận tất cả các tam giác đều cân! Đây rõ ràng là một kết quả không đúng, vậy trong phép chứng minh sai lầm ở đâu?
Hệ quả: Tam giác nào cũng đều!
Phân tích sai lầm của nghịch lý
Trong chứng minh ta đã chứng minh rất nhiều trường hợp cho có vẻ chặt chẽ. Thực ra ta đã bỏ qua một trường hợp quan trọng là điểm N ở ngoài tam giác và hai đường vuông góc hạ từ N là NQ và NP thì Q nằm trong CA còn P lại nằm ngoài CB. Khi đó, ta không còn chứng minh được bằng cách trừ hai đẳng thức hay công hai đẳng thức để được
nữa.